В этой части мы познакомимся с
ВРЕМЯ ВЫКЛАДЫВАТЬ КАМЕШКИ
В мире есть много трудных вещей, но нет ничего труднее, чем четыре действия арифметики. БЕДА ДОСТОПОЧТЕННЫЙ (около 673—735)
<ЭТО БЫЛО НАЧАЛОМ НАЧАЛ...»
Древнейшим счетным инструментом, который сама природа предоставила в распоряжение человека, была его собственная рука. «Понятие числа
и фигуры,— писал Ф. Энгельс,— взято не откуда-нибудь, а только» из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать (производить первую арифметическую операцию), представляют собой все что угодно, только не продукт свободного творческого разума».
Имена числительные во многих языках указывают, что у первобытного человека орудием счета были преимущественно пальцы. Не случайно в древнерусской нумерации единицы называются «перстами», десятки— «составами», а все остальные числа — «сочинениями». Кисть же руки — пясть — синоним и фактическая основа числительного «пять» у многих народов. Например, малайское «лима» означает одновременно и «рука» и «пять».
По словам знаменитого русского путешественника Н. И. Миклухо-Маклая, туземцы Новой Гвинеи считали следующим образом: «...папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например, «бе, бе, бе...». Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе, ...», пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе,...», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».
От пальцевого счета берет начало пятеричная система счисления (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног). У многих народов
пальцы рук остаются инструментом счета и на более высоких ступенях развития.
В гомеровской «Одиссее» часто встречается слово «пятерить», имеющее по смыслу значение «считать» и свидетельствующее о распространении в гомеровскую эпоху пальцевого счета.
В другом литературном памятнике, комедии Аристофана «Осы» (конец V — начало IV в. до н. э.), говорится: «Подсчитаем'попросту, не на камешках, а на руках, все подати...»
Хорошо был известен пальцевый счет и в Риме. По свидетельству древнеримского историка Плиния-старше-го -(погибшего в 79 году в Помпее во время извержения Везувия), на главной римской площади Форуме была воздвигнута гигантская фигура двуликого бога Януса. Пальцами правой руки он изображал число 300, пальцами левой — 55. Вместе это составляло число дней в году в римском календаре.
В средневековой Европе полное описание пальцевого счета составил ирландец Беда Достопочтенный (около 673—735). Этот трудолюбивый монах—о себе он говорил, что всегда либо учился, либо учил, либо сочинял,— оставил после себя ряд интересных трактатов. В одном из них — «О счислении» — он подробно изложил способы представления на пальцах различных чисел вплоть до миллиона. Трактат Беды явился источником, откуда средневековые составители учебников арифметики в течений многих лет черпали свои сведения о пальцевом счете.
Пальцевый счет сохранился кое-где и поныне. Историк математики Л. Карпинский в книге «История арифметики» сообщает, что на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены, объявлялись маклерами на пальцах без единого слова.
Издревле употреблялся еще один вид инструментального счета — с помощью деревянных палочек с зарубками (бирок). Впервые упоминание о способе записи чисел путем нанесения зарубок встречается на барельефе храма фараона Сети I (1350 г. до н. э.) в Абидосе. Здесь изображен бог Тот, отмечающий с помощью зарубок на пальмовой ветви длительность срока правления фараона.
В средние века бирками пользовались для учета и сбора налогов. Бирка разрезалась на две продольные части, одна оставалась у крестьянина, другая — у сбор-
щика налогов. По зарубкам на обеих частях и велся счет уплаты налога, который проверяли складыванием частей бирки.
В Англии, например, этот способ записи •налогов существовал до конца XVII столетия.
При ликвидации старых налоговых обязательств крестьян на дворе лондонского казначейства был устроен костер из накопившихся бирок. Он оказался таким большим, что сгорело и само здание казначейства, а вместе с ним погиб и вделанный в стену образец английской меры длины, так что с тех пор англичане не знают точной длины своего фута.
Другие народы — китайцы, персы, индийцы, перуанцы — использовали для представления чисел и счета . ремни или веревки с узелками. У античного историка Геродота (V в. до н. э.) есть рассказ о том, как персидский царь Дарий, отправляясь в поход на скифов, приказал ионийцам остаться для охраны моста через реку Истер и, завязав на ремне 60 узлов, вручил его со словами: «Люди Ионии, возьмите этот ремень и поступите так, как я скажу вам: как только вы увидите, что я выступил против скифов, с того дня вы начнете ежедневно развязывать по одному узлу, и когда найдете, что дни, обозначенные этими узлами, уже миновали, то можете отправляться к себе домой». Американские индейцы называли счетные веревки куиру, и в перуанских городах до вторжения в Южную Америку европейцев городской казначей именовался куиру комоуокуна, то есть чиновник узелков.
ОТ АБАКА...
Бирки и веревки с узелками не могли удовлетворить возраставшие в связи с развитием торговли потребности в средствах вычисления. Развитию же письменного счета препятствовали два обстоятельства.
Во-первых, не было подходящего материала для выполнения вычислений — глиняные и восковые таблички для этого не годились, пергамент был изобретен лишь в V веке до и. э. (да и был слишком дорог), а бумага появилась значительно позже (в Европе—'около XI Столетия). Во-вторых, в тогдашних системах счисления письменно выполнить все необходимые операции было сложно. Попробуйте, например, перемножить CLVI на LXXIV, пользуясь римской системой счисления! Этими
обстоятельствами-можно объяснить появление специального счетного прибора, известного в древности под именем абака.
Происхождение термина «абак» не установлено. Большинство историков производят его от семитического корня; согласно этому толкованию абак означает дощечку, покрытую слоем пыли. В своей примитивной форме абак действительно представлял собой такую дощечку. На ней острой палочкой проводились линии и какие-нибудь предметы, например камешки или палочки, размещались в получившихся колонках по позиционному принципу. На рис. 6, не требующем комментариев, показана последовательность выполнения сложения 258 + 54 на абаке. Вычитание выполнялось изъятием камешков, умножение и деление—как повторные сложения и вычитания соответственно.
По свидетельству Геродота, египтяне пользовались абаком, причем в отличие от греков передвигали камешки не слева направо, а справа налево. Отсюда видно, что в эпоху Геродота абак и в Греции, и в Египте уже получил широкое распространение. Историки полагают^ что в Грецию абак был завезен финикийцами и стал там «походным инструментом» греческих купцов. Значения, приписываемые камешкам в различных колонках, обычно сообразовывались с соотношениями различных денежных единиц. Например, у историка Полибия мы встречаем слова: «Придворные—как камни на счетной доске; захочет счетчик, и они будут стоить один халк, а захочет—так и целый талант» (и халк и талант— денежные единицы.—Авт.).
В Древнем Риме абак назывался calculi или abaculi и изготовлялся из бронзы, камня, слоновой кости и цветного стекла. Слово calculus означает «галька», «голыш». От этого слова произошло позднейшее латинское calcu-latore (вычислять) и наше—«калькуляция». Сохранился бронзовый римский абак, на котором calculi передвигались в вертикально прорезанных желобках. Внизу помещали камешки для счета до пяти, а в верхней части имелось отделение для камешка, соответствующего пятерке (рис. 1).
Китайцы заменили камешки бусинками (или шариками), нанизанными на прутики, проволоки или веревки. Китайская разновидность абака — суаньпань — появилась, вероятно, в VI веке н.э.; современный тип этого
счетного прибора был создан позднее, по-видимому в XII столетии (рис. 3). Суаньпань представляет собой прямоугольную раму, в которой параллельно друг другу протянуты проволоки или веревки числом от 9 и более;
перпендикулярно этому направлению суаньпань перегорожен линейкой на две неравные части. В большом отделении («земля») на каждой проволоке нанизано по 5 шариков, в меньшем («небо») — по два; первые как бы соответствуют пяти пальцам руки, вторые— двум рукам. Проволоки соответствуют десятичным разрядам.
Японский абак — соробан (рис. 3) — происходит от
китайского суаньпаня, который был завезен в Японию в XV—XVI веках. Соробан проще своего предшественника, у него на «небе» на один шарик меньше, чем у
суаньпаня.
Наконец на рубеже XVI—XVII веков появляется русский абак — счеты, о которых мы поговорим несколько
позже.